函数y＝xln（2+1⼀x）的渐近线为？

求答题过程，对数ln怎么转换？

2025-12-14 21:40:08

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回答1：

y = xln(2+1/x) = xln[(2x+1)/x] 定义域 (2x+1)/x > 0, x∈(-∞, -1/2)∪(0, +∞)
lim< x→(-1/2)- > xln(2+1/x) = -∞ ;
lim< x→0+ > xln(2+1/x) = lim< x→0+ > ln(2+1/x)/(1/x) (∞/∞)
= lim< x→0+ > (-1/x^2)/(2+1/x)/(-1/x^2) = lim< x→0+ > x/(2x+1) = 0 .
则有垂直渐近线 x = -1/2。
设斜渐近线 y = kx+b
k = limy/x = limln(2+1/x) = ln2
b = lim(y-kx) = lim[xln(2+1/x)-xln2]
= lim[ln(2+1/x)-ln2]/(1/x) = lim{ln2[1+1/(2x)]-ln2}/(1/x)
= limln[1+1/(2x)]/(1/x) = lim1/(2x)/(1/x) = 1/2
斜渐近线 y = xln2 + 1/2