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已知a,β属于（0，π⼀2），且sinβ=sinacos(a+β)，当tanβ取最大值时，求tan（a+β）的值

2025-12-15 08:50:41

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回答1：

sinβ = sin[(α+β)-α] = sin(α+β)cosα - cos(α+β)sinα

而 sinβ=sinαcos(α+β)

所以 sin(α+β)cosα - cos(α+β)sinα = sinαcos(α+β)
sin(α+β)cosα = 2sinαcos(α+β)
所以
tan(α+β)=2tanα = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
即
2tanβ(tanα)^2 -tanα +tanβ =0
因关于tanα的一元二次方程有实数解，则
Δ = 1 - 8(tanβ)^2≥0
即 0所以
tanβ最大值为√2/4，此时 tanα = √(x1x2) = √2/2

所以
tan(α+β)=2tanα = √2